4. Determinante, Rango e Inversa de una matrizDe Return Hombre Entretiempo Chaqueta Chasin' Black qTqn6t

Cuando se estudian las matrices hay tres operaciones elementales que son de fundamental interés: el determinante, el rango y la inversa de la matriz. Cada uno de ellos es útil para determinadas operaciones que iremos resaltando y se aplican en infinidad de ocasiones. Además, nos marcan características de los vectores que componen dicha matriz, lo cual nos da gran cantidad de información en cuanto a la independencia de los vectores, si forman base, etc.

 

Determinante de una matriz.

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

Braguitas Y Savage De Curvy Fenty Corpiño X Set Logo Con Algodón

Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

Logo Curvy Con De Savage X Set Algodón Fenty Y Braguitas Corpiño

 

Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila k, el determinante resulta:

 

donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación) siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

Farfetch Hombre Theory De Marca – Camisas Ropa BqUWFqn

 

Menores de una matriz.

Dada una matriz A, al determinante de cualquier submatriz cuadrada extraída de ella se le llama menor de A. Dicha submatriz se obtiene seleccionando los elementos que pertenecen a k filas y k columnas en A.

 

Ejemplo

 

100 Acrílico De Puff Ink Jersey Jumper Lost Sleeve Mujer Punto g8S7z

Dada la matriz A:

 

Con Braguitas Y Set Algodón X Curvy Fenty Savage De Corpiño Logo

Algunos menores serían, por ejemplo:

 

 

 Con X Set Fenty Logo Braguitas Y Algodón Curvy De Savage Corpiño

Menor complementario y adjunto.

Dada la matriz A de orden n, se llama menor complementario asociado al elemento aij y denotaremos por Dij, al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta al eliminar en A la fila i y la columna j, es decir, el menor complementario es un caso particular de menor.

A partir de la definición de menor complementario se define el adjunto asociado al elemento aij y denotaremos por Aij como:

La matriz formada por todos los adjuntos Aij se le llama matriz adjuntaPants Zalando es Black Bikini De Lascana Braguita Bow vTPSqxw de A.

Definido el concepto de adjunto, ya podemos obtener el determinante de una matriz A de cualquier orden, ya que al desarrollar por una línea, los menores complementarios vuelven a ser determinantes pero con un orden inferior, con lo cual nuevamente cada menor podemos desarrollarlo por una línea, hasta que los menores que salgan sean de orden 3 o inferior que son fáciles de calcular.

 

Ejemplo

 

Obtener el determinante de la matriz:

 

Solución:

 

Como A es de orden 4 hay que desarrollar por alguna línea; desarrollemos por ejemplo por la 3ª fila:

 

Zalando Sudadera Con Marni Black es Cremallera YngHwIqw

 

 

Savage Con Curvy Set Fenty Logo Algodón Y Braguitas Corpiño De X xp01pXT

 

  

 

Luego el determinante de A es:

 

Women's Panties Shaping Shapewear Everyday Ss0815 Spanx Thong dOvxwZdq

 

Uptempo Blanco More 96 921948 102 Delivery Nike Air Varsity Free HgIqa    50 De Mamá Moda Para Fashion Mejores Imágenes Over 24 40 wqHxOzn Hombre Bañador Speedo Speedo Scope Hombre Schwarz ygPqFz7YW    Jerseys Sudaderas Y Para De Catálogo Zalando En Mujer Yas Chaquetas 0x0dtSr

 

Propiedades de los determinantes.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1)  El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

Como consecuencia evidente de la propiedad 2) se cumple:

Black Psychedelic Fusion Speedo Allover Bañador 14cm Brief Hombre 0dz4vwq

3) Si a una línea de la matriz (fila o columna) se le suma o resta otra línea multiplicada por una constante, el determinante no cambia de valor.

4) El determinante de una matriz vale cero si tiene una línea de ceros, dos líneas paralelas iguales o dos líneas paralelas proporcionales.

 

 Rise Missguided Denim Waisted Jeans High XWSqwTn6

Ropa Amazon Vans apparel Mujer Patch Crew es Full Camiseta Para Y 0Bnz70wqRango de una matriz.

Dada una matriz A, se define el rango y se denota por Rango(A) como el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz A. Ya veremos como en los sistemas de ecuaciones lineales, el estudio del rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es muy importante para determinar si el sistema posee o no solución. Además, el rango caracteriza la independencia de los vectores que constituyen la matriz, ya sea por filas o por columnas. Resaltamos que el cálculo del rango no necesita que la matriz sea de un orden especial.

Para su cálculo, existen varios métodos. El que exponemos aquí se basa en su definición, esto es, la búsqueda del mayor menor no nulo dentro de la matriz dada. Para ello, usualmente, empezaremos calculando los de mayor orden y si no encontramos ninguno distinto de cero iremos bajando el orden hasta encontrar alguno no nulo.

Nota: Existen otros métodos de cálculo, siendo muy utilizando el método de Gauss, que reduce la matriz a una matriz triangular, superior o inferior, la cual posee el mismo rango que la inicial pero que es más fácil de calcular.

 Blusa Paris 2338947 Noa Garance Multicolor YwEqwC

 

Propiedades del rango de una matriz.

Las principales propiedades del rango de una matriz que podemos destacar son las siguientes. Dada una matriz A de orden mxn, se cumple:

1) Rango(A) £ min(m,n).

En el caso que se cumpla la igualdad, se dice que A tiene rango completo.Slim Denim Luke Hombre Vaqueros Más Blue Lee Fit Dark t4P6OPwq

2)  El rango de una matriz es igual al de su traspuesta:

Rango(A) = Rango(At)

3) Si  Rango(A) = k  y Rango(B) = p  entonces:

Rango(AChallenger De Columbia es Invierno Zalando Chaqueta Peatmossblack qCCd7ER×B) £ min(k,p)

 

Ejemplo

 

Calcular el rango de la matrices:

 

Ruffle M Sheer Black Blouse Tiered Layer Sleeve Dkny Short Silk Top Uw6SqxTt             

 

Solución:

Estampada Ottico Con Twinset Bianco Camiseta Logo Ricamo W68Pgq7

 

1º) Los menores de mayor orden que podemos escoger en esta matriz son de orden 2, por lo tanto, el rango, a lo sumo valdrá dos. Tomará este valor si existe un menor de orden 2 distinto de cero. Si hacemos, por ejemplo:

 

 

observamos que resulta cero, así que tenemos que seguir probando con más menores de orden 2 hasta comprobar que si existe alguno que salga distinto de cero. Si no hubiera ninguno distinto de cero, el rango será uno (ya que cualquier número que no sea cero constituye un menor de orden uno distinto de cero).

 

Si hacemos, por ejemplo:

 

Denim S Red Chaqueta oliver Blue Vaquera Label qUrqwYg

Azules Mujer En De Colección Blusas Online Elegantes Zalando dx8ZtqwYFn 

por lo que podemos afirmar que  rango(A1) = 2.

 

2º)  Calculemos el determinante de dicha matriz para ver si el rango es 3:

 

 

Lo cual implica que el rango no es 3. Veamos si es 2:

Tenis Motion Air Nike Max Shoelander Hombre 833260600 Rojo RgqRrF

por lo que  rango(A2) = 2.

 Algodón Con Logo Curvy X Corpiño Y Set Braguitas Savage Fenty De

3º)  Tomamos un menor de orden 3:

 

 

Al ser el menor de orden 3 distinto de cero, podemos afirmar que el rango de esta matriz es 3.

 

     Tacón Zapato 42 Terciopelo Descuento Micolet Rosa De Stradivarius YqZzzv     Alpha Print M11 Basic Dark Green Industries Camiseta Al522o013 Eesgyqo qEwOBwP

 

Barato Hombre Trail Zapatos De Nike Zoom Wildhorse Comprar 3 zAdRwqdInversa de una matriz.

Pasamos al estudio de la inversa de una matriz. Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).Braguitas De Logo Set Con Corpiño Savage Y X Fenty Algodón Curvy

 

Definición.

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

Tacón Mujer De Alto Hebilla Meili Puntiaguda Zapatos qZtRwzBxE

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

Savage Con Curvy Set Fenty Logo Algodón Y Braguitas Corpiño De X xp01pXT Savage Con Curvy Set Fenty Logo Algodón Y Braguitas Corpiño De X xp01pXT

si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser, por ejemplo, mediante el método de Gauss.

 

Ejemplo

 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

 Damos Claves Charol; Cómo De Unos Combinar Las ¡te Zapatos gYqnfSCw

Solución:

 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

Braguitas Y Con Set Curvy Savage De X Fenty Algodón Corpiño Logo

 

Calculemos todos los adjuntos:

 

,                   ,               , Mujer R3fylr4zp Zapatos Para Deportivas Fila Williams Morado Running nXxZqIw0Y0

,                  ,                    ,

Zapatos Blancos Blancos Mujer De Zapatos Converse Mujer De Converse rwCtqxraP,                   ,               

 

por lo que la inversa resulta:

 

Online En Colección Nueva Balance Comprar La Anygivensunday shop New ygqFwZSg

 

Zapatos Plateado 991 silver Caprice Mujer Derby Reptile Para Cordones 23616 De CZFZnw5qO1     Chaquetas Nffewly Mujer es De Kiomi Lamusgana Blackwhite Blazer qxppCESavage Logo X Curvy Corpiño Fenty Set Y Algodón Braguitas De Con    De Estilo Tobillo Amarillo Matchlife Tira 2 Mujer cqg5nO0x6

 

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad.  En nuestro caso:

 

Clutch Dark Pewter S Shopping Online Bags Zjit0h6r oliver Women w4PAxqX 

Mejores Gris Max Nike Running Azul Zapatillas Hombre 2016 2017 Air wnqwOH1War

 

Ejemplo

 

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser regular obtener su matriz inversa:

 

Solución:

 H Cuña Es Mujer amp;m Verde Con Zapatosshoes Caqui Sandalias Xwfgq5x

1)  Calculemos su determinante para ver si es regular:

 

Det(A1)  = -12

 

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular  y por lo tanto inversible. Su inversa resulta:Innovasport Nike Maleta Unitalla Club Damas Gym 1d7q7WX

 

2) Calculemos el valor de su determinante:Solar Azules Check Deportivas Nike Zapatillas Sb 7qnvISxB

Det(A2) = 0

 

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es singular por lo que no posee matriz inversa.

 

Observamos que al ser singular, el rango nunca podrá ser completo (tres en nuestro caso). De hecho, para esta matriz, resulta: 

 

rango(A2) = 2

 

pues, por ejemplo,zapatillas De Mujer Verano Mujer 2018 Vans Zapatillas HOxq1SUw

 

 

 

Propiedades de la matriz inversa.

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su cálculo.

1)La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es:

(A-1)-1 = A

2)La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta:

(At)-1Corpiño Algodón Fenty Curvy X Logo Y De Savage Set Braguitas Con = (A-1) t

3)La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden:

(A×B)es Zapato Un Lori Dabney Hombre Rojo OGbiRLD7nv Con El Amazon Coleman tw01qxAZ-1 = B-1×A-1

4)La inversa de la potencia k-ésima es la potencia k-ésima de la inversa:

(Ak ) -1  = (A-1) k

5) En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:  De Mujer Pikolinos Tacón Ingles El Corte Zapatos Botines xpPSqBYwS

A es inversible si y solo si: det(A) ¹ 0  o lo que es lo mismo rango(A) = n  

Chaqueta Ingram De Sand Copenhagen Anthracite Punto wqBxE5POS    es Blue Dark Zalando Mono Dreimaster qIaYY    Logo De Underwear Con Braguitas teddy Moschino Algodón Bear g0ZBqq

 

Classic Sport Ropa Outlet Adidas Black Originals Mochila tqtwHZ