4. Determinante, Rango e Inversa de una matrizVino Vestir Bescita De Para Sandalias Lona Mujer x0BAYSqB

Cuando se estudian las matrices hay tres operaciones elementales que son de fundamental interés: el determinante, el rango y la inversa de la matriz. Cada uno de ellos es útil para determinadas operaciones que iremos resaltando y se aplican en infinidad de ocasiones. Además, nos marcan características de los vectores que componen dicha matriz, lo cual nos da gran cantidad de información en cuanto a la independencia de los vectores, si forman base, etc.

 

Determinante de una matriz.

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

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Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

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Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila k, el determinante resulta:

 

donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación) siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

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Menores de una matriz.

Dada una matriz A, al determinante de cualquier submatriz cuadrada extraída de ella se le llama menor de A. Dicha submatriz se obtiene seleccionando los elementos que pertenecen a k filas y k columnas en A.

 

Ejemplo

 

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Dada la matriz A:

 

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Algunos menores serían, por ejemplo:

 

 

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Menor complementario y adjunto.

Dada la matriz A de orden n, se llama menor complementario asociado al elemento aij y denotaremos por Dij, al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta al eliminar en A la fila i y la columna j, es decir, el menor complementario es un caso particular de menor.

A partir de la definición de menor complementario se define el adjunto asociado al elemento aij y denotaremos por Aij como:

La matriz formada por todos los adjuntos Aij se le llama matriz adjuntaSuela Mujeres Y Novia Best 8 Primavera Del Talones La Sandalias toe Verano Zapatos Peep Dama Perla Noche 4u De Las Alto Satn Boda Goma Cm Apliques Rhinestone qvHrgHXw0 de A.

Definido el concepto de adjunto, ya podemos obtener el determinante de una matriz A de cualquier orden, ya que al desarrollar por una línea, los menores complementarios vuelven a ser determinantes pero con un orden inferior, con lo cual nuevamente cada menor podemos desarrollarlo por una línea, hasta que los menores que salgan sean de orden 3 o inferior que son fáciles de calcular.

 

Ejemplo

 

Obtener el determinante de la matriz:

 

Solución:

 

Como A es de orden 4 hay que desarrollar por alguna línea; desarrollemos por ejemplo por la 3ª fila:

 

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Luego el determinante de A es:

 

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Propiedades de los determinantes.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1)  El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

Como consecuencia evidente de la propiedad 2) se cumple:

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3) Si a una línea de la matriz (fila o columna) se le suma o resta otra línea multiplicada por una constante, el determinante no cambia de valor.

4) El determinante de una matriz vale cero si tiene una línea de ceros, dos líneas paralelas iguales o dos líneas paralelas proporcionales.

 

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Ropa Amazon Vans apparel Mujer Patch Crew es Full Camiseta Para Y 0Bnz70wqRango de una matriz.

Dada una matriz A, se define el rango y se denota por Rango(A) como el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz A. Ya veremos como en los sistemas de ecuaciones lineales, el estudio del rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es muy importante para determinar si el sistema posee o no solución. Además, el rango caracteriza la independencia de los vectores que constituyen la matriz, ya sea por filas o por columnas. Resaltamos que el cálculo del rango no necesita que la matriz sea de un orden especial.

Para su cálculo, existen varios métodos. El que exponemos aquí se basa en su definición, esto es, la búsqueda del mayor menor no nulo dentro de la matriz dada. Para ello, usualmente, empezaremos calculando los de mayor orden y si no encontramos ninguno distinto de cero iremos bajando el orden hasta encontrar alguno no nulo.

Nota: Existen otros métodos de cálculo, siendo muy utilizando el método de Gauss, que reduce la matriz a una matriz triangular, superior o inferior, la cual posee el mismo rango que la inicial pero que es más fácil de calcular.

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Propiedades del rango de una matriz.

Las principales propiedades del rango de una matriz que podemos destacar son las siguientes. Dada una matriz A de orden mxn, se cumple:

1) Rango(A) £ min(m,n).

En el caso que se cumpla la igualdad, se dice que A tiene rango completo.Bianco Mokassin Derby Para 15 Keil Mujer Cordones De Gris Zapatos grey ggTqw

2)  El rango de una matriz es igual al de su traspuesta:

Rango(A) = Rango(At)

3) Si  Rango(A) = k  y Rango(B) = p  entonces:

Rango(ALoafer Pump Con Cerrada De Punta Zapatos 100 black Mujer 10 Negro Bianco Para Tacn TSnwRS×B) £ min(k,p)

 

Ejemplo

 

Calcular el rango de la matrices:

 

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Solución:

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1º) Los menores de mayor orden que podemos escoger en esta matriz son de orden 2, por lo tanto, el rango, a lo sumo valdrá dos. Tomará este valor si existe un menor de orden 2 distinto de cero. Si hacemos, por ejemplo:

 

 

observamos que resulta cero, así que tenemos que seguir probando con más menores de orden 2 hasta comprobar que si existe alguno que salga distinto de cero. Si no hubiera ninguno distinto de cero, el rango será uno (ya que cualquier número que no sea cero constituye un menor de orden uno distinto de cero).

 

Si hacemos, por ejemplo:

 

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por lo que podemos afirmar que  rango(A1) = 2.

 

2º)  Calculemos el determinante de dicha matriz para ver si el rango es 3:

 

 

Lo cual implica que el rango no es 3. Veamos si es 2:

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por lo que  rango(A2) = 2.

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3º)  Tomamos un menor de orden 3:

 

 

Al ser el menor de orden 3 distinto de cero, podemos afirmar que el rango de esta matriz es 3.

 

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Barato Hombre Trail Zapatos De Nike Zoom Wildhorse Comprar 3 zAdRwqdInversa de una matriz.

Pasamos al estudio de la inversa de una matriz. Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).Mocasines Hombre Para De Piel Hangfan Gris

 

Definición.

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

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Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

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si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser, por ejemplo, mediante el método de Gauss.

 

Ejemplo

 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

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Solución:

 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

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Calculemos todos los adjuntos:

 

,                   ,               , Mandriles Ganchillo Negro 551541 Converse Star Blanco All EqIxwfaf6

,                  ,                    ,

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por lo que la inversa resulta:

 

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Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad.  En nuestro caso:

 

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Ejemplo

 

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser regular obtener su matriz inversa:

 

Solución:

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1)  Calculemos su determinante para ver si es regular:

 

Det(A1)  = -12

 

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular  y por lo tanto inversible. Su inversa resulta:Midnight Mujer Hi Converse Azul Zapatillas Navy All Waterproof Star FItqtA0Z

 

2) Calculemos el valor de su determinante:Ox Unisex De Zapatillas Turquesa Deporte Canvas As Converse Dainty BxfpgC

Det(A2) = 0

 

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es singular por lo que no posee matriz inversa.

 

Observamos que al ser singular, el rango nunca podrá ser completo (tres en nuestro caso). De hecho, para esta matriz, resulta: 

 

rango(A2) = 2

 

pues, por ejemplo,Dainty Deporte Converse Mujer As Mono Para Black Zapatillas Ox De HFPgwxF

 

 

 

Propiedades de la matriz inversa.

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su cálculo.

1)La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es:

(A-1)-1 = A

2)La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta:

(At)-1Hangfan De Gris Piel Mocasines Hombre Para = (A-1) t

3)La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden:

(A×B)Altas Converse Can Optic As Zapatillas Adulto Navy Wht Hi Unisex 4wqvf4r-1 = B-1×A-1

4)La inversa de la potencia k-ésima es la potencia k-ésima de la inversa:

(Ak ) -1  = (A-1) k

5) En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:  white Zapatillas Breakpoint Gris Mujer dolphin dolphin Converse Para C555924 pZqwan0

A es inversible si y solo si: det(A) ¹ 0  o lo que es lo mismo rango(A) = n  

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